Le produit scalaire

1. Définition

Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur. Son signe indique si l'angle est aigu ($>0$), droit ($=0$) ou obtus ($<0$).

2. Expression analytique

Dans un repère orthonormé, avec $\vec{u}\,(x\,;y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y')$ :

Exemple : pour $\vec{u}\,(3\,;1)$ et $\vec{v}\,(-2\,;6)$, on a $\vec{u}\cdot\vec{v}=3\times(-2)+1\times6=0$ : les vecteurs sont orthogonaux.

3. Propriétés

• Symétrie : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$.
• Bilinéarité : $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$ et $(k\vec{u})\cdot\vec{v}=k\,(\vec{u}\cdot\vec{v})$.
• Carré scalaire : $\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}$.

4. Applications

Le produit scalaire sert aussi à calculer un angle : $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$, et à établir le théorème d'Al-Kashi.