موارد
عربي FR تسجيل الدخول ابحث عن أستاذ
موارد
السنوات السنة الأولى ابتدائي السنة الثانية ابتدائي السنة الثالثة ابتدائي السنة الرابعة ابتدائي السنة الخامسة ابتدائي السنة السادسة ابتدائي
المواد العربية الفرنسية الإنجليزية الرياضيات الإيقاظ العلمي التربية الإسلامية
الامتحانات مناظرة السادسة الفروض التأليفية
الابتدائي من السنة الأولى إلى السادسة العديد من الموارد بالعربية. كل الابتدائي
السنوات السنة السابعة أساسي السنة الثامنة أساسي السنة التاسعة أساسي
المواد العربية الفرنسية الإنجليزية الرياضيات الفيزياء والكيمياء علوم الحياة والأرض التاريخ والجغرافيا الإعلامية التربية الإسلامية
الامتحانات مناظرة التاسعة الفروض التأليفية
الإعدادي التعليم الأساسي السنوات السابعة والثامنة والتاسعة أساسي. كل الإعدادي
السنة الأولى السنة الأولى ثانوي
السنة الثانية علوم آداب اقتصاد وخدمات تكنولوجيا الإعلامية
السنة الثالثة الرياضيات علوم تجريبية علوم تقنية علوم الإعلامية اقتصاد وتصرف آداب رياضة
الثانوي من السنة الأولى إلى الثالثة ثانوي اختر سنتك ثم شعبتك. كل الثانوي
الشعب الرياضيات علوم تجريبية علوم تقنية علوم الإعلامية اقتصاد وتصرف آداب رياضة
حسب النوع الدروس والملخّصات سلاسل التمارين فروض المراقبة الفروض التأليفية
الامتحانات الوطنية الدورة الرئيسية دورة المراقبة كل مواضيع الباكالوريا
الباكالوريا السنة الرابعة ثانوي سبع شعب، مواضيع رسمية مع الإصلاح. كل الباكالوريا
مناظرة السادسة كل المواضيع العربية الفرنسية الرياضيات الإيقاظ العلمي
مناظرة التاسعة كل المواضيع العربية الفرنسية الإنجليزية الرياضيات الفيزياء والكيمياء علوم الحياة والأرض
لمن؟ المدارس الإعدادية النموذجية المعاهد النموذجية
المناظرات المدارس والمعاهد النموذجية مواضيع السنوات السابقة مع الإصلاح. كل المناظرات
اقترح موردًا
عربي FR تسجيل الدخول
ابحث عن أستاذ
درس

Le produit scalaire

السنة الثالثة · علوم تجريبية · القراءة: 10 دقائق

اقترحه Prof. Démo نُشر في 4 سبتمبر 2026

1. Définition

Définition

Pour deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} faisant un angle θ\theta : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta. Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 00.

Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur. Son signe indique si l'angle est aigu (>0>0), droit (=0=0) ou obtus (<0<0).

2. Expression analytique

Dans un repère orthonormé, avec u⃗ (x ;y)\vec{u}\,(x\,;y) et v⃗ (x′ ;y′)\vec{v}\,(x'\,;y') :

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′∥u⃗∥=x2+y2\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'\qquad\|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Exemple : pour u⃗ (3 ;1)\vec{u}\,(3\,;1) et v⃗ (−2 ;6)\vec{v}\,(-2\,;6), on a u⃗⋅v⃗=3×(−2)+1×6=0\vec{u}\cdot\vec{v}=3\times(-2)+1\times6=0 : les vecteurs sont orthogonaux.

3. Propriétés

  • Symétrie : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}.
  • Bilinéarité : u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w} et (ku⃗)⋅v⃗=k (u⃗⋅v⃗)(k\vec{u})\cdot\vec{v}=k\,(\vec{u}\cdot\vec{v}).
  • Carré scalaire : u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}.
Critère d'orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. C'est l'outil le plus employé : il transforme une question de géométrie en une équation.

4. Applications

Méthode · montrer qu'un triangle est rectangle
1 Calculer les coordonnées de deux vecteurs issus du sommet suspecté.
2 Calculer leur produit scalaire.
3 Conclure : s'il est nul, l'angle est droit.

Le produit scalaire sert aussi à calculer un angle : cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}, et à établir le théorème d'Al-Kashi.

Attention

L'expression xx′+yy′xx'+yy' n'est valable que dans un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, elle est fausse.

الإبلاغ عن خطأ
الإبلاغ عن خطأ
ما الخلل في هذا المورد؟
السبب
مساعدة بشرية · Mentorni

تحتاج مساعدة في الرياضيات؟

اكتشف كل أساتذة Mentorni وابحث حسب مادتك ومدينتك.

ابحث عن أستاذ نفس الحساب على Mentorni
تحتاج مساعدة في الرياضيات؟ أساتذة قريبون منك أو عن بعد ابحث عن أستاذ