Activités algébriques

السنة الأولى · القراءة: 9 دقائق

1. Les identités remarquables

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\qquad(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\qquad(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}

Lues de gauche à droite, elles développent ; lues de droite à gauche, elles factorisent. C'est le second sens qui sert le plus souvent.

Attention

Le double produit est l'erreur la plus fréquente : $(a+b)^2$ ne vaut pas $a^2+b^2$ . Avec $a=3$ et $b=4$ : $(3+4)^2=49$ alors que $9+16=25$ .

Méthode · dans quel ordre essayer

1 Chercher un facteur commun à tous les termes et le mettre en évidence.

2 Repérer une différence de deux carrés

a^2-b^2

3 Repérer un carré parfait

a^2\pm2ab+b^2

4 Vérifier en redéveloppant le résultat.

Exemple : $9x^{2}-16=(3x)^{2}-4^{2}=(3x-4)(3x+4)$ .

Exemple : $(2x-3)^{2}-(x+1)^{2}=\big((2x-3)-(x+1)\big)\big((2x-3)+(x+1)\big)=(x-4)(3x-2)$ .

Théorème

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $AB=0\iff A=0\ \text{ou}\ B=0$ .

C'est pourquoi on factorise avant de résoudre : $(x-4)(3x-2)=0$ donne immédiatement $x=4$ ou $x=\dfrac{2}{3}$ .

Une fraction est nulle quand son numérateur est nul et son dénominateur non nul. Il faut donc toujours commencer par écrire la condition d'existence.

\dfrac{A}{B}=0\iff A=0\ \text{ et }\ B\neq0

Astuce

Écris la condition d'existence avant de calculer, pas après : elle t'évitera de garder une solution interdite à la fin.

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