Suites réelles

السنة الرابعة · علوم تجريبية · القراءة: 12 دقيقة

1. Définitions

Une suite réelle $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$ , appelé terme de rang $n$ . On la définit soit par une formule explicite, soit par une relation de récurrence.

Définition

La suite $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1}\geq u_n$ pour tout $n$ , décroissante si $u_{n+1}\leq u_n$ . Elle est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n\leq M$ pour tout $n$ , minorée s'il existe $m$ tel que $u_n\geq m$ .

Astuce

Pour le sens de variation, étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ . Si tous les termes sont strictement positifs, tu peux aussi comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ .

2. Suites arithmétiques et géométriques

	Arithmétique · raison $r$	Géométrique · raison $q$
Relation	$u_{n+1}=u_n+r$	$u_{n+1}=q\,u_n$
Terme général	$u_n=u_0+nr$	$u_n=u_0\,q^n$
Somme $u_0+\dots+u_n$	$\dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$	$u_0\,\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ( $q\neq1$ )

Exemple : si $u_0=1$ et $r=3$ , alors $u_n=3n+1$ et $u_0+\dots+u_{19}=\dfrac{20\times(1+58)}{2}=590$ .

3. Raisonnement par récurrence

On veut montrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0$ .

Méthode · démontrer par récurrence

1 Initialisation : vérifier que

P(n_0)

est vraie.

2 Hérédité : supposer

P(n)

vraie pour un

n\geq n_0

fixé, puis démontrer

P(n+1)

3 Conclusion :

P(n)

est vraie pour tout

n\geq n_0

Attention

L'hérédité seule ne prouve rien : sans initialisation, la démonstration est fausse. Les deux étapes doivent être rédigées.

4. Convergence

Théorème

Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Limites de référence :

\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0\qquad\lim_{n\to+\infty}q^n=\begin{cases}0 & \text{si } -1<q<1\ +\infty & \text{si } q>1\end{cases}

Attention

Une suite bornée n'est pas forcément convergente : $u_n=(-1)^n$ vaut alternativement $1$ et $-1$ sans jamais se stabiliser.

5. Exemple résolu

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+4$ .

Majoration. $u_0=1<6$ . Si $u_n<6$ , alors $\dfrac{1}{3}u_n<2$ donc $u_{n+1}<6$ : par récurrence, $u_n<6$ pour tout $n$ .

Monotonie. $u_{n+1}-u_n=4-\dfrac{2}{3}u_n=\dfrac{2}{3}(6-u_n)>0$ d'après ce qui précède : la suite est croissante.

Croissante et majorée, $(u_n)$ converge. En posant $v_n=u_n-6$ , on obtient $v_{n+1}=\dfrac{1}{3}v_n$ , donc $v_n=-5\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ et :

u_n=6-5\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}\qquad\text{d'où}\qquad\lim_{n\to+\infty}u_n=6

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Une suite décroissante et minorée est :

2 عدد · 1,5 نقطة

Que vaut

\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}

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