Les racines carrées

1. Définition

Définition

Pour tout réel $a\geq0$ , la racine carrée de $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est l'unique réel positif dont le carré vaut $a$ . Autrement dit : $\sqrt{a}\geq0$ et $\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a$ .

Attention

La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans $\mathbb{R}$ : $\sqrt{-4}$ n'a pas de sens ici. Et attention, $\sqrt{a^2}=|a|$ , pas $a$ : $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$ .

2. Propriétés

\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\qquad\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ \ (b>0)

Attention

Il n'existe aucune règle pour $\sqrt{a+b}$ : en général $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$ . Par exemple $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$ .

3. Simplifier une racine

Méthode · sortir un carré d'une racine

1 Décomposer le nombre sous la racine en produit, avec un carré parfait.

2 Séparer la racine du produit en produit de racines.

3 Extraire la racine du carré parfait.

Exemple : $\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ .

4. Rendre le dénominateur rationnel

On multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée, ce qui fait disparaître la racine du dénominateur.

\dfrac{3}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{3\left(\sqrt{5}+1\right)}{\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}=\dfrac{3\left(\sqrt{5}+1\right)}{5-1}=\dfrac{3\left(\sqrt{5}+1\right)}{4}

Astuce

Les carrés parfaits utiles à connaître par cœur : $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ , $64$ , $81$ , $100$ , $121$ , $144$ . Ils permettent de simplifier presque toutes les racines d'un devoir.

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