Limites et continuité

4ème année · Sciences expérimentales · Lecture : 7 min

Limites usuelles

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0\qquad\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\qquad\lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty

Pour une fonction rationnelle, la limite en $\pm\infty$ est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Formes indéterminées

$\dfrac{0}{0}$ et $\dfrac{\infty}{\infty}$ : factoriser, ou diviser par le terme dominant.
$\infty-\infty$ : mettre en facteur, ou multiplier par l'expression conjuguée.
$0\times\infty$ : réécrire sous forme de quotient.

Méthode · lever une indétermination avec une racine

1 Multiplier numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée.

2 Simplifier le numérateur grâce à

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

3 Conclure sur l'expression obtenue, qui n'est plus indéterminée.

Exemple : $\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\dfrac{1}{2}$ .

Asymptotes

Limite	Conséquence graphique
$\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$	Asymptote verticale $x=a$
$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell$	Asymptote horizontale $y=\ell$
$\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0$	Asymptote oblique $y=ax+b$

Continuité

Définition

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ . Elle est continue sur un intervalle si elle l'est en chacun de ses points.

Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a\,;b]$ . Si de plus $f$ est strictement monotone, cette solution est unique.

Astuce

Pour montrer qu'une équation admet une solution unique, il faut donc deux arguments : la continuité (existence) et la stricte monotonie (unicité).

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