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Devoir de synthèse Interactif Trimestre 1 Corrigé

Devoir de synthèse n°1

4ème année · Sciences expérimentales · Durée : 3 heures

Proposé par Prof. Démo Publié le 10 juillet 2026
Exercice 1 Nombres complexes 6 points

On pose z1=1+iz_1=1+i et z2=3+iz_2=\sqrt{3}+i.

1) Déterminer le module et un argument de z1z_1, puis de z2z_2. 2
2) En déduire le module et un argument de Z=z1z2Z=\dfrac{z_1}{z_2}. 1.5
3) Écrire ZZ sous forme algébrique. 1.5
4) En déduire les valeurs exactes de cos⁡π12\cos\dfrac{\pi}{12} et sin⁡π12\sin\dfrac{\pi}{12}. 1
Exercice 2 Étude de fonction 8 points

Soit ff définie sur R∖{−1}\mathbb{R}\setminus\{-1\} par f(x)=x2+x+1x+1f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}

1) Montrer que f(x)=x+1x+1f(x)=x+\dfrac{1}{x+1}. 1.5
2) Calculer les limites de ff en −∞-\infty, +∞+\infty, −1−-1^- et −1+-1^+. 2
3) Montrer que la droite Δ:y=x\Delta:y=x est asymptote oblique à la courbe de ff. 1.5
4) Calculer f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variation de ff. 3
Exercice 3 Probabilités 6 points

Une urne contient 55 boules rouges et 33 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules.

1) Déterminer le nombre de tirages possibles. 1.5
2) Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges. 1.5
3) Calculer la probabilité d'obtenir une boule de chaque couleur. 1.5
4) Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule verte. 1.5

Exercice interactif

Continuité et dérivabilité · 4,5 points

1 Nombre · 1,5 point
Soit f(x)=x2−4x−2f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2} pour x≠2x \neq 2 et f(2)=mf(2) = m. Quelle valeur de mm rend ff continue en 22 ?
Toutes les écritures équivalentes sont acceptées : 0,5 ou 1/2.
2 Choix · 1,5 point
Quelle est la dérivée de x↦xx \mapsto \sqrt{x} sur ]0,+∞[]0,+\infty[ ?
3 Texte à trous · 1,5 point
Complète le théorème :

Une fonction dérivable en aa est en aa.

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Lis tout le sujet d’abord Ce sujet compte 4 exercices indépendants : commence par celui que tu maîtrises le mieux.
Répartis ton temps Durée : 3 heures. Compte environ 38 minutes par exercice, et garde 28 minutes à la fin pour relire.
Suis le barème Le sujet est noté sur 20 points. Chaque question compte séparément : écris ce que tu sais même si tu ne finis pas l’exercice.
Écris chaque étape Les étapes intermédiaires rapportent des points : une formule citée ou une propriété justifiée compte, même si le résultat final est faux.
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